Samuele ha un altro esercizio:

Puoi schematizzare un sommergibile come un cilindro che ha un diametro di base di 3,0 m mentre la lunghezza del cilindro misura 20,0 m. Il sommergibile è immerso orizzontalmente alla profondità di 50,0 m in acqua di mare. Qual è la forza esercitata dall'acqua sulle due basi? Qual è la spinta verso l'alto che il sommergibile riceve?

Ecco un suggerimento:

La pressione in acqua alla profondità h è data dalla legge p = p_atm + d_aq·g·h, dove p_atm è la pressione atmosferica al livello del mare e d_aq è la densità dell'acqua. Moltiplicando la pressione per l'area di una base, poi, si determina la forza agente su tale base.

La spinta verso l'alto è invece la spinta idrostatica, data dalla legge di Archimede F = d_aq·V_somm·g, dove V_somm è il volume del sommergibile.

Riccardo è perplesso:

Premettendo che ho studiato che il moto è apparente, perché non vedo che la Terra è in moto nella vita quotidiana? L'atmosfera si muove con la Terra?

Ecco la mia risposta:

Non so bene che cosa Riccardo intenda, dicendo che ha studiato che «il moto è apparente». Il moto della Terra non è affatto apparente! Per un moto apparente, non era il caso di processare Galileo e mettere all'indice Copernico. Il moto della Terra è assolutamente reale. I moti, anzi: perché parliamo del moto diurno di rotazione intorno all'asse terrestre e di quello annuo di rivoluzione intorno al Sole.

La Terra vincola gravitazionalmente tutti i corpi che si trovano nelle sue vicinanze, compresa l'atmosfera. Questo fa sì che i suoi moti non siano immediatamente visibili. Ma ci sono conseguenze a livello fisico. La circolazione delle correnti marine e dei venti, ad esempio, è una conseguenza del moto di rotazione. Anche il moto di rivoluzione è visibile, sia pure in maniera più sottile, ad esempio nel fenomeno della parallasse stellare.

Andrea ha bisogno di aiuto:

Quale deve essere la pressione in una conduttura dell'acqua se un pompiere deve fare arrivare il getto a un'altezza di 12 m?

Ecco la mia risposta:

Facciamo alcune ipotesi per semplificare il problema:

1. L'attrito viscoso dell'acqua nel tubo può essere trascurato.
2. La variazione di pressione atmosferica dovuta al dislivello può essere trascurata.
3. La sezione del tubo resta costante per tutta la sua lunghezza.

In tal caso possiamo scrivere l'equazione di Bernoulli in questa forma:
   p₀ + p + ½·ρ·v² = p₀ + ρ·g·h + ½·ρ·v²
dove p₀ è la pressione atmosferica, p la pressione cercata, ρ la densità dell'acqua. L'incompressibilità dell'acqua e la costanza della sezione del tubo, insieme con l'equazione di continuità, implicano che la velocità dell'acqua e la portata del flusso non varino lungo il tubo.
Allora
   p = ρ·g·h = 1,2·10⁵ Pa.

Samuele propone un esercizio:

Una piramide di materiale omogeneo (d = 850 kg/m³) viene immersa in acqua a partire dalla punta. Sapendo che l'altezza della piramide è di 25 cm, determina a quale profondità è immersa la punta.

Ecco la mia risposta:

Più che di fisica, questo è un esercizio di matematica sulla proporzionalità e la similitudine. Poiché la densità del materiale che costituisce la piramide è 0,850 volte quella dell'acqua [NOTA: il testo originale fornito da Samuele dà un valore di 0,850 kg/m³, ma in tal caso la piramide dovrebbe galleggiare anche sull'aria, come una mongolfiera.] il volume immerso deve essere una frazione pari a 0,850 volte il volume della piramide.

Il volume di una piramide è direttamente proporzionale al cubo dell'altezza, come si può vedere considerando i triangoli simili formati rispettivamente dall'altezza, dallo spigolo e dall'apotema della base della piramide intera e della frazione immersa.
Di conseguenza, se il rapporto fra i volumi dev'essere uguale a 0,850, il rapporto fra le altezze dev'essere uguale alla radice cubica di questo valore, cioè 0,947.
La profondità di immersione è perciò 0,947·25 cm = 23,7 cm.

Valeria è in difficoltà:

Un'automobile parte da ferma con accelerazione costante, e arriva in un punto distante 200 m con una velocità di 24,5 m/s. Calcolare il tempo impiegato a percorrere tale distanza.

Ecco la mia risposta:

Le equazioni di un moto uniformemente accelerato sono:
   x = x₀ + v₀·t + ½a·t²
   v = v₀ + a·t.

Nel nostro caso possiamo supporre x₀ = 0. Inoltre il testo ci dice che v₀ = 0. All'istante finale t, x = 200 m e v = 24,5 m/s. Si ottiene perciò:
   200 m = ½a·t²
   24,5 m/s = a·t.
Sia a che t sono certamente diversi da 0, quindi possiamo dividere le equazioni membro a membro e ottenere t = 16,3 s. Quindi a = 1,5 m/s².

Francesco propone un esercizio:

Due automobili si trovano su una strada rettilinea a una distanza di 500 m, e si muovono a velocità costante. L'automobile che precede si muove a 90 km/h, mentre quella che segue a 130 km/h. Calcolare dopo quanto tempo le automobili si incontrano.

Ecco la mia risposta:

Introduciamo un asse di riferimento parallelo alla strada e con l'origine nella posizione dell'automobile più veloce quando si trova a 500 m dietro la più lenta; orientiamo l'asse nella direzione del moto delle automobili. Convertiamo anche le due velocità: 90 km/h = 25 m/s, 130 km/h = 36,1 m/s.
Allora le due automobili hanno le seguenti equazioni del moto:
   x_V = (36,1 m/s)·t
   x_L = 500 m + (25 m/s)·t.

Quando l'automobile veloce raggiunge quella lenta si ha x_V = x_L, quindi:
   (36,1 m/s)·t = 500 m + (25 m/s)·t.
Questa equazione risolve il problema.

Francesco sta impazzendo (così dice, almeno):

Un corpo viene lanciato in orizzontale da un punto iniziale ad altezza 0,815 m. Se arriva al suolo con modulo della velocità pari a 10,8 m/s, calcolare il modulo della velocità iniziale.

Ecco un aiuto da parte mia:

Si tratta di un esempio di moto balistico, o parabolico, con velocità iniziale uguale a 0 verticalmente e a v₀ orizzontalmente.

Introduciamo il solito sistema di riferimento con l'origine al suolo sotto la posizione iniziale del corpo, l'asse orizzontale parallelo al suolo nella direzione del lancio e l'asse verticale perpendicolare al suolo e orientato verso l'alto.
Allora le equazioni del moto sono:
   x = v₀·t
   y = 0,815 m -½·(9,8 m/s²)·t²
   v_x = v₀
   v_y = -(9,8 m/s²)·t.

La seconda equazione permette di trovare l'istante t^* di arrivo al suolo, in cui y = 0. Si ottiene t^* = 0,41 s.

La quarta equazione permette di trovare la velocità lungo y all'arrivo al suolo: v_y^* = -4,0 m/s.

Il vettore velocità rappresenta l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente per cateti le componenti lungo x e y:
   v² = v_x² + v_y²
e all'arrivo al suolo questa equazione diventa:
   (10,8 m/s)² = v₀² + (-4,0 m/s)².
Da qui si può ricavare v₀.

Giuseppe è perplesso:

Un pattinatore partendo da fermo percorre una pista in discesa di 7,4 m con accelerazione di 2,4 m/s². Quanto tempo impiega a percorrere la discesa? Qual è la sua velocità dopo 3 s?

Ecco la mia risposta:

Si tratta di un moto uniformemente accelerato con equazioni:
   x = x₀ + v₀·t + ½a·t² = (1,2 m/s²)·t²
   v = v₀ + a·t = (2,4 m/s)·t.

Ponendo x = 7,4 m nella prima equazione si troverà il tempo necessario alla discesa.

Ponendo t = 3 s nella seconda equazione si troverà la velocità richiesta.

Nicolò ha un problema:

Due pesi, disposti uno sull'ipotenusa, uno sul cateto di un triangolo isoscele rettangolo, sono congiunti da una carrucola (sul vertice del triangolo fra lo stesso cateto e l'ipotenusa) e sono in equilibrio, determinare il peso del corpo sull'ipotenusa sapendo che quello sul cateto è di 10 N.

Ecco la mia risposta:

La forza efficace sul corpo a contatto con l'ipotenusa è mg·sin(45°), mentre quella sul corpo disposto lungo il cateto è m'g.

All'equilibrio deve essere mg·sin(45°) = m'g = 10 N, quindi il peso del primo corpo deve essere mg = (10 N)/sin(45°) = 14 N.

Samuele è pieno di domande:

A. Un punto materiale si muove di moto rettilineo uniforme. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?

1. Il grafico spazio-tempo del moto non dipende dal valore di s₀.
2. Il grafico velocità-tempo del moto non dipende dal valore di s₀.
3. Il grafico spazio-tempo del moto non dipende dal verso in cui il punto materiale si muove.
4. Il grafico velocità-tempo del moto non dipende dal verso in cui il punto materiale si muove

B. In un grafico spazio tempo è rappresentato un segmento con estremi i punti A(0 s; 12 m) e B(8 s; 4 m). Quale della seguenti affermazioni è corretta?

1. Il relativo grafico velocità-tempo è un segmento.
2. Il relativo grafico velocità-tempo è inclinato verso il basso.

C. Un gatto che insegue un insetto corre lungo una retta a velocità costante, percorrendo 3 m in 2 s. Poi torna indietro e percorre 2 m in 1 s. Disegna il grafico velocità-tempo.

D. A 100 m dal traguardo in una gara dei 400 m, l'atleta B, in seconda posizione, va a 8,4 m/s. L'atleta A, in prima posizione, in vantaggio di 2 m sull'avversario, mantiene la velocità di 8,1 m/s. Chi vince e con quanti metri di distacco?

E. La pantera può tenere una velocità di 100 km/h per circa 20 s. L'antilope invece raggiunge una velocità di 85 km/h. Se i due animali distano 15 m e si muovono in linea retta, scrivi la legge del moto di ciascun animale e calcola e rappresenta la posizione che occuperebbero dopo 20 s.

Ecco la mia risposta:

Come ho già detto, vorrei che evitaste di mandare tante domande in una volta sola. Questo sito è una risorsa, no? E le risorse vanno trattate con rispetto.
Non voglio che il mio lavoro sostituisca quello di chi si rivolge a questa pagina. Perciò, vediamo se Samuele se la cava anche soltanto con qualche suggerimento…

A. In un moto rettilineo uniforme, il grafico s-t è una retta con pendenza obliqua, legata alla velocità. Una retta che interseca l'asse verticale da qualche parte… Il grafico v-t è una retta parallela all'asse orizzontale, dove l'ordinata ha sempre lo stesso valore, che infatti è la velocità. Infine, il segno della velocità dipende dal verso del moto (nel sistema di riferimento adottato).
Ora dovrebbe essere chiaro perché la risposta giusta è la 2.

B. È un moto uniforme, il grafico v-t è «piatto».

C. Se assumiamo come verso positivo quello iniziale, il grafico v-t ha ordinata positiva nel primo tratto, quindi negativa nel secondo. Abbiamo un grafico spezzato in due segmenti paralleli all'asse orizzontale, uno al di sopra e l'altro al di sotto di esso.

D. Assumendo come origine del sistema di riferimento il traguardo e come verso quello della corsa, le equazioni del moto dei due atleti sono:
   x = -100 m + (8,4 m/s)·t
   x = -98 m + (8,1 m/s)·t
Trovando l'istante in cui ciascun atleta raggiunge il traguardo (condizione x=0), si può ottenere la risposta cercata.

E. Scegliamo la posizione iniziale dell'antilope come origine, assumiamo come positivo il verso in cui si muovono e, sì, convertiamo le due velocità in m/s. A questo punto dovrebbe essere facile scrivere le due equazioni sul modello di quelle del punto precedente.

Susanna propone un esercizio:

Un oggetto è poggiato su un piano inclinato di 20° rispetto all'orizzontale. Se l'oggetto parte da fermo, calcolare il tempo impiegato per percorrere 30 cm.

Ecco la mia risposta:

La trattazione del piano inclinato (privo di attrito, come suppongo che si debba ipotizzare in questo esempio) mostra che l'accelerazione di un oggetto che scivola lungo il piano è costante e vale a = g·sin(α), dove α è l'inclinazione del piano rispetto al suolo.

In un moto uniformemente accelerato con velocità iniziale nulla, la distanza percorsa in un intervallo t è s = ½·a·t².

Nel nostro caso t = √[2s/(g·sin(α)] = √[2·0,30 m/(9,8 m/s² · sin 20°)] = 0,42 s.

Gianluca è armato:

Su un vagone ferroviario che viaggia alla velocità di 30 m/s viene sparato con un fucile ad aria compressa un proiettile in direzione trasversale al moto del treno. La velocità del proiettile rispetto al fucile è di 100 m/s. Determinare il valore e la direzione della velocità del proiettile rispetto al suolo.

Ecco la mia risposta:

Per velocità molto inferiori alla velocità della luce nel vuoto vale la legge galileiana di composizione delle velocità, per la quale la velocità v_{p, s} del proiettile rispetto al suolo è semplicemente la somma vettoriale della velocità v_{p, t} del proiettile rispetto al treno e di quella v_{t, s} del treno rispetto al suolo.

Poiché i due vettori sono perpendicolari, possiamo determinare il valore della velocità del proiettile rispetto al suolo con il teorema di Pitagora:
     v_{p, s} = √(v_{p, t}² + v_{t, s}²) = 104 m/s.

L'angolo α che v_{p, s} forma con la direzione del treno, ovvero con la direzione del vettore v_{t, s}, si può determinare con la trigonometria:
     tan(α) = v_{p, t} / v_{t, s}
da cui α = 73°.

Mattia propone un esercizio:

Un blocco di massa m₁ = 4 kg è collocato sopra uno di massa m₂ = 5 kg. Per far scivolare il blocco superiore rispetto a quello inferiore, tenuto fermo, occorre applicargli una forza di almeno 12 N. L'insieme dei due blocchi viene poggiato su una superficie orizzontale priva di attrito. Trovare:

1. l'intensità della massima forza orizzontale F che si può applicare al blocco inferiore per far spostare insieme i due blocchi;
2. l'accelerazione dei due blocchi.

Ecco la mia risposta:

Una forza di 12 N applicata a un blocco di massa pari a 4 kg corrisponde a un'accelerazione di 3 m/s². Se i due blocchi non scivolano l'uno rispetto all'altro, anche il secondo blocco deve possedere la stessa accelerazione. La forza applicata sul secondo blocco deve perciò essere tale da imprimere un'accelerazione di 3 m/s² al sistema formato dai due blocchi, avente una massa complessiva di 9 kg. L'intensità della forza necessaria è quindi pari a 27 N.

Samuele ha un problema:

Una motocicletta parte da ferma con accelerazione costante di 3,5 m/s² e insegue un'auto che si muove di moto uniforme con la velocità di 130 km/h.Se la moto inizia l'inseguimento appena l'auto le passa davanti, calcola quanto tempo impiega la moto a raggiungere l'auto e qual è la velocità finale della moto nel momento in cui raggiunge l'auto.

Ecco la mia risposta:

Prendiamo come origine l'istante in cui l'auto passa davanti alla motocicletta e la posizione che entrambe occupano in quell'istante. Orientiamo l'asse di riferimento nella direzione del moto di entrambe. Allora l'equazione del moto dell'auto risulta:
     s₁ = (36,1 m/s)·t
dove la velocità dell'auto è espressa in m/s. L'equazione della motocicletta è invece:
     s₂ = ½(3,5 m/s²)·t².
Mettendo a sistema le due equazioni si ottiene l'equazione di secondo grado:
    (1,75 m/s²)·t² – (36,1 m/s)·t = 0.
La soluzione nulla corrisponde all'istante in cui l'auto passa davanti alla moto, mentre la seconda soluzione t^* corrisponde all'istante in cui la moto raggiunge l'auto.

Sostituendo t^* nell'equazione della velocità della moto, v = (3,5 m/s²)·t, si ottiene la velocità della moto a quell'istante.

Giusy ha un problema:

Un oggetto puntiforme si muove su una traiettoria circolare di raggio R = 1 m ed accelera in maniera uniforme. Sapendo che la sua velocità angolare iniziale vale ω₀ = 1,5 rad/s e che in 5 s percorre l'intera circonferenza per 3 volte

1. Calcolare, per t = 10 s, il numero di giri di circonferenza fatti dall'oggetto ed il modulo della sua accelerazione.
2. Si supponga adesso che la massa non acceleri più uniformemente ma che la sua velocità angolare segua la legge:
        ω = ω₀ + k·(t²)
   L'oggetto fa, come prima, 3 giri di circonferenza in 5 secondi ed ω₀ = 1,5 rad/s. Calcolare nuovamente, per t = 10 s, il numero di giri di circonferenza fatti dall'oggetto ed il modulo della sua accelerazione.

Ecco la mia risposta:

La relazione fra l'angolo Δθ descritto e l'accelerazione angolare α è la stessa che c'è fra la distanza Δs percorsa e l'accelerazione lineare a. Mentre in questo secondo caso si ha:
     Δs = v₀·t + ½ a·t²,
nel primo caso si ha:
     Δθ = ω₀·t + ½ α·t².
Dalle informazioni iniziali ricaviamo α = (Δθ – ω₀·t) / (½t²) = 0,91 rad/s². In 10 s l'angolo descritto è Δθ = 60,5 rad, pari a 9,6 circonferenze.

Al punto 2, l'accelerazione angolare è uguale alla derivata della velocità angolare rispetto al tempo, α = 2k·t (da cui si ricava che il parametro k si misura in rad/s³). L'angolo descritto si può trovare integrando la velocità angolare rispetto al tempo:
     Δθ = ω₀·t +⅓ k·t³.
Sapendo che per t = 5 s, Δθ = 18,85 rad, si ottiene per k il valore 0,27 rad/s³. Dopo 10 s l'angolo descritto sarà pari a 105 rad, cioè 16,7 circonferenze, e α avrà raggiunto il valore 5,4 rad/s².

Samuele ha un problema:

Su un vagone ferroviario che viaggia alla velocità di 30 m/s viene sparato con un fucile ad aria compressa un proiettile in direzione trasversale al moto del treno. La velocità del proiettile rispetto al fucile è di 100 m/s. Determina il valore e la direzione della velocità del proiettile rispetto al suolo.

Ecco la mia risposta:

Nel sistema di riferimento con l'origine al suolo, velocità (rispetto al suolo) nulla e orientamento uguale a quello della velocità del treno, il proiettile si muove "obliquamente" con velocità v_eff. La velocità può essere ottenuta come somma vettoriale della velocità v_pr del proiettile relativamente al treno e della velocità v_tr del treno relativamente al suolo.
Poiché i due vettori formano un triangolo rettangolo, il modulo di v_eff di può trovare con il teorema di Pitagora:
     v_eff² = v_tr² + v_pr² = 104 m/s
mentre l'angolo formato con l'asse x è dato dall'arcotangente del rapporto fra v_pr e v_tr ed è pari a 73°.

Svetlana propone un esercizio:

Un’automobile, in moto rettilineo con velocità 100 km/h, inizia a frenare uniformemente fino ad arrestarsi. Si calcolino il tempo e lo spazio di frenata.

Ecco la mia risposta:

Si tratta di un moto uniformemente accelerato, con accelerazione costante a che dobbiamo considerare negativa. Le equazioni del moto sono:
      Δs = v₀·t + ½·a·t²
     v = v₀ + a·t.

Poiché non conosco il valore di a, risolverò il problema simbolicamente.
All'arresto, v=0 e la seconda equazione fornisce –a·t = v₀, da cui si ricava il tempo di frenata t = –v₀/a (che risulta positivo).
Sostituendo questo valore nella prima equazione si ottiene lo spazio di frenata Δs.

Samuele è in difficoltà:

Una barca attraversa un fiume con la velocità costante di 8 m/s, perpendicolarmente alla corrente, che ha una velocità costante di 2 m/s. Calcola il modulo della velocità della barca rispetto alla riva. Se la barca impiega 23 s a raggiungere la riva opposta, determina la larghezza del fiume e lo spostamento della barca verso valle.

Ecco la mia risposta:

La velocità della barca rispetto alla riva è la somma vettoriale della velocità della barca rispetto all'acqua più la velocità dell'acqua rispetto alla riva. I due vettori sono mutuamente perpendicolari, per cui è possibile calcolare il modulo della loro somma con il teorema di Pitagora.

La larghezza del fiume è uguale alla velocità relativa all'acqua per l'intervallo di tempo impiegato, mentre la distanza percorsa verso valle è il prodotto dello stesso intervallo per la velocità relativa alla riva.

Andrea è incerto:

Un evento sismico ha generato nel suolo onde di tipo P longitudinali che si propagano alla velocità di 8000 m/s ed onde di tipo S trasversali che viaggiano alla velocità di 5000 m/s. Se un sismografo registra l'arrivo di onde S dopo che sono trascorsi 1,5 minuti dall'arrivo delle onde P, quanto dista il sismografo dall'epicentro del terremoto?

Ecco la mia risposta:

La distanza D percorsa dai due tipi di onde è la stessa. Indicando con il pedice P le grandezze relative al primo tipo di onde e con pedice s quelle relative al secondo tipo, possiamo scrivere che i prodotti delle velocità per i rispettivi intervalli di tempo sono uguali:
     v_P·Δt_P = v_S·Δt_S =D.
Sappiamo anche che:
     Δt_S = Δt_P + 90 s.

Mettendo a sistema le due equazioni in Δt_S e Δt_P si ottengono gli intervalli impiegati, quindi la distanza percorsa.

Giusi ha un sacco di domande:

Un motociclista sta percorrendo una strada con la sua motocicletta:

1. Supponendo che, su un tratto rettilineo, parta con una velocità iniziale di 20 km/h e si muova con un accelerazione costante pari a 0,2 m/s², dopo un tratto di 100 m incrocia un vigile che, partendo da fermo all'istante esatto in cui i due si incrociano, lo insegue con una accelerazione di 0,8 m/s². Trovare quanto tempo impiega il vigile a raggiungere il motociclista e lo spazio che percorre per raggiungerlo.
2. Successivamente il motociclista riparte e si immette in una pista circolare di raggio pari a 10m con la seguente legge oraria: s(t) = A·t·e^–t/T dove s è lo spazio percorso sulla circonferenza mentre A e T sono due parametri, determinabili sapendo che la velocità iniziale vale 30 km/h e l'accelerazione tangenziale iniziale ha modulo 0,5 m/s². Tracciare un grafico qualitativo della velocità del motociclista determinando quantitativamente gli istanti e le posizioni in cui si ferma ed in cui la velocità è massima. Scrivere inoltre l'espressione dell'accelerazione dell'oggetto in funzione del tempo.

Ecco la mia risposta:

Ci serve la velocità del motociclista all'istante dell'incrocio. Dalla legge del moto uniformemente accelerato s = v₀·t + ½at² e con s = 100 m, v₀ = 5,6 m/s, a = 0,2 m/s², si ottiene t = 14 s. (L'equazione di secondo grado in t ha anche la soluzione –70 s, che non è accettabile.) A questo istante la velocità del motociclista è v = v₀ + a·t = 8,4 m/s.
Assumiamo ora un sistema di riferimento orientato come la traiettoria dei due veicoli e con origine nel punto e all'istante in cui essi si incrociano. Le equazioni del moto del motociclista e del vigile sono rispettivamente:
     s_m = (8,4 m/s)·t + ½·(0,2 m/s²)·t²
     s_v = ½(0,8 m/s²)·t².
Mettendo a sistema le due equazioni si ottiene l'istante in cui il vigile raggiunge il motociclista: t = 28 s. (Di nuovo, si trova una seconda soluzione, t = 0, che corrisponde all'istante del primo incrocio.) In 28 s la distanza percorsa dal vigile è pari a 314 m.

Nella seconda parte occorre derivare una volta e due volte la legge oraria, determinare i valori di A e T assegnando a t il valore 0, quindi sostanzialmente studiare le funzioni s(t) e v(t). Ma a questo punto non si tratta d'altro che di un esercizio di matematica…